2.28

Cochran 定理

昨天码的 Cochran 定理证明有误，只用 Craig 定理证了 ${\xi }_i$ 两两独立，没有说明 ${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_k$ 相互独立。实际上需要整体考虑 $A_1,\cdots ,A_k$ ，考虑所有 $A_i$ 的同时正交对角化，这样也就不需要 Craig 定理了，只需要两个引理。

而 《数理统计学教程》书上的 Cochran 把 $A_i$ 半正定作为定理条件，这很奇怪，因为 $A_i$ 半正定是可以推出的，这种莫名的条件给理解增加了困难。其次，使用了半正定矩阵的分解，这在我的线代课上没有学过，更没有用过，所以非常懵逼。

自己采用其他路线（虽然实际上相似）理顺后，发现逻辑还是清晰，符合直觉的。我们希望把二次型的交叉项消去，从而获得独立性。而消去二次型的交叉项实际上就是正交对角化/正交变换。对称矩阵的条件也提示了这一点。而引理 1 保证了正交变换获得的随机向量仍然是独立正态分布，那么就证明完成了。