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数理统计

速通了《普林斯顿概率论读本》和《概率论与数理统计》（茆诗松）的概率论部分，进入数理统计，当务之急是选择一门教材

至于高等概率论，已经学完了测度、随机变量、分布、期望、Lebesgue-Stieltjes 积分、独立性等概念的公理化定义以及将其联系起来的定理，为初等概率论提供了足够的基础和信心。接下来对收敛、极限定理的高等概率论描述暂时没有必要学习，用到再补

《数理统计学讲义》（陈家鼎）的绪论这样介绍数理统计的两个主题：

估计

• 设总体 $X$ 的分布函数 $F(x$) 是未知的，如何根据样本值 $x_1,\cdots ,x_n$ 给出 $F(x)$ 的估计值 ?
• 设 $X$ 的分布函数为 $F(x,\theta ),\theta =({\theta }_1,\cdots ,{\theta }_m)$ 是未知向量，如何根据 $seqxn$ 估计出 $\theta$ ？
• 设 $g(F$)是分布函数 $F(x)$ 的泛函，如何根据样本值估计出 $g(F)$ ?
• 设 $X$ 与 $Y$ 是两个相互独立的随机变量，如何根据 $(X,Y)$ 的样本值 $(x_1,y_1),\cdots ,(x_n,y_n)$ 估计概率 $P(X>Y)$ ?
• 若 $X_1,X_2,\cdots$ 是一个随机序列，如何根据 $X_1,\cdots ,X_n$ 的观测值 $x_1,\cdots ,x_n$ 预测 $X_{n+m}$ ?
• 估计问题是多种多样的，特点是找出合适的估计量 $\phi (X_1,\cdots ,X_n)$ 作为被估计量的近似值.

假设检验

• 设总体 $X$ 的分布函数 $F(x)$ 是未知的，${\mathcal{F}}_0$ 是一些分布函数组成的集合. 问：$F(x)$ 是否属于 ${\mathcal{F}}_0$ ？或者问假设 $F(x)\in {\mathcal{F}}_{\mathcal{0}}$ 是否可以接受？要根据 $x_1,\cdots ,x_n$ 给予明确的回答. 换句话说，在 ${\mathbb{R}}^n$ 中要确定一个集合 $\mathbb{W}\subset {\mathbb{R}}^n$ ，当 $(x_1,\cdots ,x_n)\in \mathbb{W}$ 时拒绝该假设，否则接受假设，这个 $\mathbb{W}$ 叫做否定域. 怎样选择合适的 $\mathbb{W}$ ?
• 设 $X$ 与 $Y$是两个随机变量，它们的分别函数分别是 $F(x)$ 与 $G(x)$. 问：如何根据 $(X,Y)$ 的样本值判断 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立？又问，如何判断是否成立 $F(x)\equiv G(x)$ ?

本来想用 《高等数理统计学》（陈希孺）来学习，看了一些后发现有些劝退，这本书假设读者学习过初等的数理统计，因此暂定用陈希孺的《数理统计学教程》。即使这本较为简单，也很有强度，加上这次想做点习题，不可能速通，希望这周加上下周能够学完，开 ML 坑。

这本书刚开始的引理 1.1 证明就用上了正交方阵、多维密度变换公式，定理 1.2 就是科克伦定理（Cochran 定理），直接上难度。每个证明都需要认真对待，这何尝不是一种魂游？